Orta Seviye Geometri Soruları — Soru Seti #2

[MaXeM]

Hakkında​

Soru Seti #1'i tamamladıysanız bu sette sizi biraz daha zorlu sorular bekliyor! Yine her sorunun altında adım adım çözüm bulunmaktadır. Önce kendiniz çözün, sonra karşılaştırın.
Konu kapsamı: Dörtgenler • Çokgenler • Köşegenler • Bileşik Alan • Koordinat Düzlemi • Açı Problemleri
Zorluk: ☆☆ Orta-Üstü

---

Soru 1 — Paralelkenar​

Bir paralelkenarın komşu açılarından biri diğerinin 3 katından 20° fazladır. Bu paralelkenarın açılarını bulun.

---

Çözüm:
Paralelkenarda komşu açılar bütünlerdir:

x + (3x + 20) = 180°
4x + 20 = 180°
4x = 160°
x = 40°

Açılar:

Küçük açı = 40°
Büyük açı = 3(40) + 20 = 140°

Karşılıklı açılar eşit olduğundan dört açı:
40°, 140°, 40°, 140°

---

Soru 2 — Kare ve Köşegen​

Köşegeni 10 cm olan bir karenin çevresi ve alanı nedir?

---

Çözüm:

Köşegen = a√2
10 = a√2
a  = 10/√2 = 10√2/2 = 5√2 cm

Çevre = 4a = 4 × 5√2 = 20√2 cm
Alan  = a² = (5√2)² = 50 cm²

Çevre = 20√2 cm, Alan = 50 cm²

---

Soru 3 — Yamuk​

İkizkenar yamuğun paralel kenarları 6 cm ve 16 cm, yanal kenarı 13 cm'dir. Bu yamuğun alanını bulun.

---

Çözüm:
Yüksekliği bulmak için Pisagor kullanılır:

      6 cm
   A-----B
  /  |    \
13  h|     13
 /   |      \
D----+--------C
         16 cm

Her iki yanda kalan yatay parça:
(16 − 6) / 2 = 5 cm
Pisagor ile yükseklik:

h² + 5² = 13²
h² + 25 = 169
h²      = 144
h       = 12 cm

Alan:

Alan = [(6 + 16) / 2] × 12
     = 11 × 12
     = 132 cm²

132 cm²

---

Soru 4 — Çokgen Açısı​

Düzgün bir çokgenin bir iç açısı, bir dış açısının 4 katıdır. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

---

Çözüm:

İç açı + Dış açı = 180°
4x + x = 180°
5x = 180°
x  = 36°  → Dış açı = 36°

Kenar sayısı = 360° / 36° = 10
10 kenarlı çokgen (Ongen)

---

Soru 5 — Köşegen Sayısı​

Bir çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 5 katına eşittir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

---

Çözüm:

n(n − 3) / 2 = 5n
n(n − 3) = 10n
n² − 3n  = 10n
n² − 13n = 0
n(n − 13)= 0
n = 13  (n = 0 anlamsız)

13 kenarlı çokgen

---

Soru 6 — Bileşik Alan​

Aşağıdaki şekilde büyük dikdörtgenin içine iki eşit daire yerleştirilmiştir. Dikdörtgenin kenarları 8 cm ve 16 cm'dir. Taralı bölgenin alanını bulun. (π = 3,14)

+------------------+
|  (     ) (     ) |
|                  |
+------------------+

---

Çözüm:
Her dairenin çapı = 16/2 = 8 cm → yarıçap = 4 cm

Dikdörtgen alanı = 16 × 8 = 128 cm²

Bir daire alanı  = π × 4² = 3,14 × 16 = 50,24 cm²
İki daire alanı  = 2 × 50,24 = 100,48 cm²

Taralı alan = 128 − 100,48 = 27,52 cm²

27,52 cm²

---

Soru 7 — Koordinat Düzlemi​

A(1, 2), B(5, 2) ve C(3, 6) noktaları bir üçgenin köşeleridir. Bu üçgenin alanını bulun.

---

Çözüm:
AB tabanı yatay bir doğru parçasıdır:
AB = 5 − 1 = 4 cm (taban)
C noktasının AB doğrusuna yüksekliği:

AB doğrusu y = 2 üzerinde
C noktası y = 6 üzerinde
Yükseklik = 6 − 2 = 4 cm

Alan:

Alan = (taban × yükseklik) / 2
     = (4 × 4) / 2
     = 8 birim²

8 birim²

---

Soru 8 — Romb ve Çember​

Köşegenleri 6 cm ve 8 cm olan bir rombun etrafına çember çizilmiştir. Bu çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

---

Çözüm:
Rombun kenarı:

Kenar = √[(6/2)² + (8/2)²]
      = √[3² + 4²]
      = √[9 + 16]
      = √25 = 5 cm

Rombun etrafındaki çemberin yarıçapını bulmak için:
Köşegenler dik kesiştiğinden dört dik üçgen oluşur. Çemberin çapı rombun en uzun köşegenine eşit değildir; ancak bu rombu çevreleyen dikdörtgenin köşegeni çemberin çapını verir:
Çevre çember çapı = Romb kenarı × 2 / sin(açı)
Daha pratik yol — köşegenler 6 ve 8 olan rombun köşeleri bir çember üzerindeyse:

R = (a × b × c × d) / (4 × Alan)
  = (5 × 5 × 5 × 5) / (4 × 24)
  = 625 / 96
  ≈ 6,5 cm

R ≈ 6,5 cm

---

Puan Tablosu​

Puan	Yorum
8 / 8	Mükemmel! Zor seviyeye geçmeye hazırsınız
6 – 7	Çok iyi! Küçük eksikleri gözden geçirin
4 – 5	İyi gidiyorsunuz, konuları tekrar edin
0 – 3	Soru Seti #1'i tekrar çalışın

---

Hangi soruyu çözemediyseniz yorum bölümüne yazın, adım adım açıklayalım!