Dörtgenler: Türleri, Özellikleri ve Formülleri

[MaXeM]

Dörtgenler: Türleri, Özellikleri ve Formülleri​

Kategori: Dörtgenler Etiketler: dörtgen, kare, dikdörtgen, paralelkenar, yamuk, eşkenar dörtgen, romb, deltoid, dörtgen çeşitleri, dörtgen özellikleri

---

Dörtgen Nedir?​

Dörtgen; dört doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı düzlem şeklidir. Dört köşesi, dört kenarı ve iki köşegeni vardır.

    A-----------B
    |           |
    |           |
    D-----------C

Dörtgenin Temel Özellikleri​

• İç açılar toplamı her zaman 360°'dir.
• İki köşegeni vardır.
• Köşegenler birbirini her zaman kesmez (içbükey dörtgenlerde dışarıda kesişebilir).

---

Dörtgen Ailesinin Soy Ağacı​

              Dörtgen
                 |
        +--------+--------+
        |                 |
    Yamuk (1 çift      Paralelkenar
    paralel kenar)   (2 çift paralel)
        |                 |
   İkizkenar         +----+----+
     Yamuk            |        |
                  Dikdörtgen  Eşkenar
                      |      Dörtgen
                      |        |
                      +---+----+
                          |
                         Kare

Kare hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir!

---

1. Paralelkenar​

İki çifti birbirine paralel olan dörtgendir.

   A-----------B
  /           /
 /           /
D-----------C

Özellikleri​

• Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel: AB = DC, AD = BC
• Karşılıklı açılar eşit: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
• Komşu açılar bütünler: ∠A + ∠B = 180°
• Köşegenler birbirini ortalayarak keser

Formüller​

Çevre = 2(a + b)
Alan  = taban × yükseklik = a × h

Örnek: Tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm olan paralelkenarın alanı?

Alan = 8 × 5 = 40 cm²

---

2. Dikdörtgen​

Dört açısı da 90° olan paralelkenardır.

   A-----------B
   |           |
 b |           | b
   |           |
   D-----------C
         a

Özellikleri​

• Tüm açılar 90°
• Karşılıklı kenarlar eşit: AB = DC, AD = BC
• Köşegenler eşit uzunlukta ve birbirini ortalar
• Köşegen: d = √(a² + b²)

Formüller​

Çevre   = 2(a + b)
Alan    = a × b
Köşegen = √(a² + b²)

Örnek: Kenarları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegeni?

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm

---

3. Eşkenar Dörtgen (Romb)​

Dört kenarı da birbirine eşit olan paralelkenardır.

      A
     / \
    /   \
   D     B
    \   /
     \ /
      C

Özellikleri​

• Dört kenar eşit: a = b = c = d
• Karşılıklı açılar eşit
• Köşegenler birbirine dik olarak ortalar
• Köşegenler açıları ikiye böler

Formüller​

Çevre = 4a
Alan  = (d₁ × d₂) / 2

d₁, d₂: köşegen uzunlukları

Örnek: Köşegenleri 10 cm ve 24 cm olan rombun kenar uzunluğu ve alanı?

Kenar = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²]
      = √[(5)² + (12)²]
      = √[25 + 144]
      = √169 = 13 cm

Alan  = (10 × 24) / 2 = 120 cm²

---

4. Kare​

Hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgen olan özel dörtgendir.

   A-----------B
   |           |
   |           |
   |           |
   D-----------C

Özellikleri​

• Dört kenar eşit, dört açı 90°
• Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar
• Köşegenler açıları 45°'ye böler
• 4 simetri ekseni vardır

Formüller​

Çevre   = 4a
Alan    = a²
Köşegen = a√2

Örnek: Köşegeni 8√2 cm olan karenin alanı?

a√2 = 8√2 → a = 8 cm
Alan = 8² = 64 cm²

---

5. Yamuk​

Yalnızca bir çifti birbirine paralel olan dörtgendir.

      a (kısa taban)
   A-----B
  /       \
 /    h    \
D-----------C
      b (uzun taban)

Özellikleri​

• Bir çift paralel kenar (taban) vardır: AB ∥ DC
• Paralel kenarların toplamının yarısı = orta taban

Formüller​

Alan        = [(a + b) / 2] × h
Orta taban  = (a + b) / 2

Örnek: Tabanları 7 cm ve 13 cm, yüksekliği 6 cm olan yamuğun alanı?

Alan = [(7 + 13) / 2] × 6 = 10 × 6 = 60 cm²

---

6. İkizkenar Yamuk​

Yamuğun yanal kenarları eşit olan özel halidir.

      a
   A-----B
  /       \
 /         \
D-----------C
      b

Özellikleri​

• Taban açıları eşit: ∠D = ∠C
• Köşegenler eşit: AC = BD
• 1 simetri ekseni vardır

---

7. Deltoid (Uçurtma)​

İki çifti komşu ve eşit kenarlara sahip dörtgendir.

      A
     /|\
    / | \
   /  |  \
  B   |   D
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      C

Özellikleri​

• AB = AD ve CB = CD
• Köşegenler dik kesişir
• Bir köşegen diğerini ortalar
• 1 simetri ekseni vardır

Formüller​

Alan = (d₁ × d₂) / 2

---

Karşılaştırma Tablosu​

Özellik	Kare	Dikdörtgen	Romb	Paralelkenar	Yamuk
4 kenar eşit
4 açı 90°
Karşılıklı kenarlar eşit
Köşegenler eşit
Köşegenler dik
Köşegenler ortalar

---

Sınav Tüyosu ​

• Kare → Dikdörtgen → Paralelkenar hiyerarşisini bilin. Kare için geçerli olan her özellik dikdörtgen için de geçerlidir.
• Rombun alanını sormak için sınavlar çoğunlukla köşegenlerini verir.
• Yamuk sorularında yüksekliği bulmak için Pisagor teoremi sık kullanılır.
• "Köşegenleri birbirine dik olan dörtgen hangisidir?" → Kare ve Romb
• "Köşegenleri eşit olan dörtgen hangisidir?" → Kare ve Dikdörtgen

---

Çözelim​

Soru: Bir rombun çevresi 52 cm, köşegenlerinden biri 10 cm'dir. Bu rombun alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Kenar = 52 / 4 = 13 cm

Köşegenler dik kesişir:
(d₁/2)² + (d₂/2)²  = kenar²
5²       + (d₂/2)²  = 13²
25       + (d₂/2)²  = 169
(d₂/2)²             = 144
d₂/2                = 12
d₂                  = 24 cm

Alan = (10 × 24) / 2 = 120 cm²

120 cm²

---

Dörtgenler konusunda aklınıza takılan sorular için yorum bölümünü kullanabilirsiniz!