Çokgenler: Tanımı, Çeşitleri, Özellikleri ve Formülleri

[MaXeM]

Çokgenler: Tanımı, Çeşitleri, Özellikleri ve Formülleri​

Kategori: Çokgenler Etiketler: çokgen, düzgün çokgen, iç açı, dış açı, köşegen, beşgen, altıgen, çokgen çeşitleri, çokgen formülleri

---

Çokgen Nedir?​

Çokgen; üç veya daha fazla doğru parçasının uç uca eklenmesiyle oluşan kapalı düzlem şeklidir. Her doğru parçasına kenar, kenarların birleştiği noktalara köşe denir.

     A
    / \
   /   \
  B-----C
  Üçgen (3 kenar)

  A---B
  |   |
  D---C
  Dörtgen (4 kenar)

    A
   / \
  E   B
  |   |
  D---C
  Beşgen (5 kenar)

Üçgen de bir çokgendir. Çokgenlerin en küçüğü üçgendir.

---

Çokgen Çeşitleri​

A) Kenar Sayısına Göre​

Kenar Sayısı	Adı	Simge
3	Üçgen	△
4	Dörtgen	□
5	Beşgen	⬠
6	Altıgen	⬡
7	Yedigen	—
8	Sekizgen	—
9	Dokuzgen	—
10	Ongen	—
n	n-gen	—

---

B) Yapısına Göre​

1. Düzgün Çokgen Tüm kenarları ve tüm iç açıları birbirine eşit olan çokgendir.

      *
     / \
    /   \
   *-----*
Düzgün Üçgen     

  *-----*
  |     |
  |     |
  *-----*
Düzgün Dörtgen (Kare)

2. Düzgün Olmayan Çokgen Kenarları veya açıları eşit olmayan çokgendir.

---

3. Dışbükey Çokgen İçindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası çokgenin dışına taşmayan çokgendir.
4. İçbükey Çokgen En az bir iç açısı 180°'den büyük olan, "girintili" görünümlü çokgendir.

Dışbükey:        İçbükey:
  *---*            *---*
 / \ / \          /     \
*   *   *        *   *---*
 \     /          \ /
  *---*             *

---

Temel Formüller​

---

İç Açılar Toplamı​

Bir n kenarlı çokgenin iç açılar toplamı:
İç Açılar Toplamı = (n − 2) × 180°

Çokgen	n	İç Açılar Toplamı
Üçgen	3	(3−2) × 180° = 180°
Dörtgen	4	(4−2) × 180° = 360°
Beşgen	5	(5−2) × 180° = 540°
Altıgen	6	(6−2) × 180° = 720°
Sekizgen	8	(8−2) × 180° = 1080°
Ongen	10	(10−2) × 180° = 1440°

Örnek: Yedigenin iç açılar toplamı?

(7 − 2) × 180° = 5 × 180° = 900°

---

Düzgün Çokgende Bir İç Açı​

Bir İç Açı = [(n − 2) × 180°] / n

Örnek: Düzgün altıgenin her bir iç açısı kaçtır?

[(6 − 2) × 180°] / 6 = 720° / 6 = 120°

---

Dış Açılar Toplamı​

Her çokgenin dış açılar toplamı, kenar sayısından bağımsız olarak her zaman 360°'dir.
Dış Açılar Toplamı = 360°

Örnek: Düzgün sekizgenin her bir dış açısı kaçtır?

360° / 8 = 45°

---

İç Açı — Dış Açı İlişkisi​

İç açı + Dış açı = 180°

Örnek: Düzgün bir çokgenin bir iç açısı 150° ise kaç kenarlıdır?

Dış açı = 180° − 150° = 30°
Kenar sayısı = 360° / 30° = 12 kenar

12 kenarlı çokgen (Onikigen)

---

Köşegen Sayısı​

Bir köşeden diğer köşelere çizilen, kenarlara ait olmayan doğru parçalarına köşegen denir.
Toplam Köşegen Sayısı = n × (n − 3) / 2

Çokgen	n	Köşegen Sayısı
Üçgen	3	3×(3−3)/2 = 0
Dörtgen	4	4×(4−3)/2 = 2
Beşgen	5	5×(5−3)/2 = 5
Altıgen	6	6×(6−3)/2 = 9
Sekizgen	8	8×(8−3)/2 = 20

Örnek: Ongenin köşegen sayısı?

10 × (10 − 3) / 2 = 10 × 7 / 2 = 35 köşegen

---

Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısı​

Bir Köşeden Köşegen = n − 3

Örnek: Beşgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilebilir?

5 − 3 = 2 köşegen

---

Düzgün Çokgenlerde Alan Formülü​

Alan = (Çevre × Apothem) / 2
Apothem: Merkezden bir kenara indirilen dikmenin uzunluğudur.

---

Düzgün Altıgen (En Önemli Özel Durum)​

Alan = (3√3 / 2) × a²

Örnek: Kenarı 4 cm olan düzgün altıgenin alanı?

Alan = (3√3 / 2) × 4² = (3√3 / 2) × 16 = 24√3 cm²

---

Çokgenlerle İlgili Önemli Özellikler​

Üçgenlere Bölme​

Her çokgen üçgenlere bölünebilir. n kenarlı bir çokgen (n − 2) üçgene bölünür.

Bu özellik iç açılar toplamı formülünün temelidir: Her üçgenin iç açılar toplamı 180° olduğundan → (n−2) × 180°

---

Düzgün Çokgen ve Çember İlişkisi​

Her düzgün çokgenin hem içine hem de dışına bir çember çizilebilir:

• İç teğet çember (inscribed): Tüm kenarlara teğet
• Dış teğet çember (circumscribed): Tüm köşelerden geçen

---

Sık Yapılan Hatalar​

Hata	Doğrusu
"Dış açılar toplamı n × 180°'dir"	Dış açılar toplamı her zaman 360°'dir
"Köşegen kenarlara da uzanır"	Köşegenler sadece komşu olmayan köşeleri birleştirir
"İçbükey çokgen çokgen değildir"	İçbükey şekiller de çokgendir
"Düzgün çokgende tüm açılar 180°'den küçüktür"	Düzgün çokgenler dışbükeydir, bu doğrudur

---

Çözelim​

Soru: Düzgün bir çokgenin her bir iç açısı 140° ise bu çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm:

Dış açı = 180° − 140° = 40°
Kenar sayısı = 360° / 40° = 9

9 kenarlı çokgen (Dokuzgen)

---

Soru: Bir çokgenin köşegen sayısı 27 ise kaç kenarlıdır?

Çözüm:

n × (n − 3) / 2 = 27
n × (n − 3) = 54
n² − 3n − 54 = 0
(n − 9)(n + 6) = 0
n = 9  (n = −6 anlamsız)

9 kenarlı çokgen

---

Çokgenler konusunda aklınıza takılan sorular için yorum bölümünü kullanabilirsiniz!