Geometri olimpiyatlarında en sık karşılaşılan problem türlerinden biri, bir üçgenin köşesinden karşı kenara inen ve kenarı belirli oranlarda bölen doğru parçalarının (kesek/cevian) uzunluğunu bulmaktır. Bu noktada imdadımıza Stewart Teoremi yetişir.
$$x^2 = \frac{b^2m + c^2n}{m+n} - mn$$
Bu formül genellikle akılda kalması için şu şekilde de düzenlenir:
$$b^2m + c^2n = a(x^2 + mn)$$
Çözüm:
Burada $c=7$, $b=9$, $m=3$ ve $n=5$ (çünkü $8-3=5$) değerlerini formülde yerine koyalım:
$$x^2 = \frac{9^2 \cdot 3 + 7^2 \cdot 5}{8} - (3 \cdot 5)$$
$$x^2 = \frac{243 + 245}{8} - 15$$
$$x^2 = \frac{488}{8} - 15$$
$$x^2 = 61 - 15 = 46$$
$$x = \sqrt{46} \text{ cm}$$
Stewart Teoremi Nedir?
Bir $ABC$ üçgeninde, $a$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alalım. $|AB| = c$, $|AC| = b$, $|BD| = m$, $|DC| = n$ ve $|AD| = x$ olsun. Bu durumda kenarlar ile kesek arasındaki ilişki şu formülle ifade edilir:$$x^2 = \frac{b^2m + c^2n}{m+n} - mn$$
Bu formül genellikle akılda kalması için şu şekilde de düzenlenir:
$$b^2m + c^2n = a(x^2 + mn)$$
Neden Önemlidir?
Stewart Teoremi, sadece uzunluk hesaplamakla kalmaz; aynı zamanda diğer önemli teoremlerin ispatında anahtar rol oynar:- İç Açıortay Teoremi: Açıortay uzunluğunu bulmak için Stewart formülünde $m/n = c/b$ bağıntısı yerleştirildiğinde meşhur açıortay uzunluk formülüne ulaşılır.
- Kenarortay Teoremi (Apollonius): Eğer $D$ noktası kenarortay ise ($m=n=a/2$), Stewart formülü bizi doğrudan kenarortay teoremine götürür.
Örnek Olimpiyat Sorusu (Isınma)
Soru: Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 7$ cm, $|AC| = 9$ cm ve $|BC| = 8$ cm'dir. $BC$ kenarı üzerinde, $|BD| = 3$ cm olacak şekilde bir $D$ noktası işaretleniyor. Buna göre $AD$ uzunluğu kaç cm'dir?Çözüm:
Burada $c=7$, $b=9$, $m=3$ ve $n=5$ (çünkü $8-3=5$) değerlerini formülde yerine koyalım:
$$x^2 = \frac{9^2 \cdot 3 + 7^2 \cdot 5}{8} - (3 \cdot 5)$$
$$x^2 = \frac{243 + 245}{8} - 15$$
$$x^2 = \frac{488}{8} - 15$$
$$x^2 = 61 - 15 = 46$$
$$x = \sqrt{46} \text{ cm}$$